<PN diode> 3. 소수 캐리어 분포

이전 챕터에서 forward bias를 인가한 PN diode의 다양한 특징에 대해 알아보았다. 이번 챕터에서는 그에 이어 forward bias를 인가한 PN diode의 소수 캐리어 분포인 $\delta n_p(x)$, $\delta p_n(x)$를 수식적으로 다뤄보도록 하겠다. 이후의 챕터에서는 이번 챕터에서 계산한 소수 캐리어 분포를 통해 neutral region에서 소수 캐리어에 의해 흐르는 전류에 대해 알아보도록 하겠다.

Continuity equation(in neutral region)

소수 캐리어의 분포를 계산하기 위해서는 우선 아래의 continuity equation을 살펴볼 필요가 있다. 참고로 아래의 수식은 p-side에 대한 수식으로 n-side 수식도 p-side에서 p가 n으로 바뀐 수식이다.

Continuity equation

위의 수식에서 $J_p$를 우리가 아는 수식들을 활용하여 정리하면 아래와 같은 수식을 얻을 수 있다.

$J_p(t,x)$와 $p(t,x)$관계식&nbsp; 이때, $p_0$는 상수라고 가정한다.

hole, electrons continuity equation in neutral region

PN diode 챕터 1에서 한 가정들 중 E-field = 0, no generation, steady-state condition 이렇게 3가지 가정을 위의 continuity equation에 적용한다면 다음과 같이 간단하게 정리된다.

가정들을 적용한 continuity equation

위의 수식의 양변을 $D_p$로 나누고 $D\tau = L^2$로 치환하고 이를 상미분 방정식을 통해 $\delta N(x)$로 정리하면 아래의 수식을 얻을 수 있다. 참고로 여기서 $L$은 diffusion length로 excess carrier가 평균적으로 재결합되기 전까지의 시간동안 carrier가 이동할 수 있는 거리를 의미한다.

Continuity equation으로부터 구해낸 관계식

Boundary conditions 적용

① Long pn diode

Long pn diode란 diode 길이가 diffusion 길이($L$)보다 매우 길 때를 의미한다.
필자 모두 이전 챕터 마지막에서 도출해낸 아래의 경계 조건을 기억할 것이다.

Boundary conditions

위의 경계 조건을 위의 Continuity equation으로부터 구해낸 관계식에 적용한다면 아래의 수식 결과를 도출해낼 수 있다. 아래의 계산 과정은 생략하도록 하겠지만, 필요로 한다면 따로 증명하도록 하겠(습니)다.

Long pn diode&nbsp;minority excess carrier

Long pn diode minority excess carrier 그래프

② Short pn diode

PN diode를 설계할 때, 보통은 long pn diode처럼 만들어지지 않고 한 쪽만 도핑이 많이되는 short pn diode가 많다. Short pn diode란 long pn diode와 반대로 diode의 길이가 diffusion 길이($L$)보다 매우 짧은 경우를 의미한다. Short pn diode의 경우 이전과 달리 경계 조건이 $\delta p_n(+\infty)=0$이 아닌, $\delta p_n(x_n + W_n) = 0$이 적용된다. 이를 적용하여 다시 한 번 계산하면 아래의 결과를 도출한다.

Short pn diode minority excess carrier

Short pn diode minority excess carrier 그래프

 

 

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작성자: 이현우 / 수정 및 검토: 손동휘, 김현수