앞으로 배울 pn diode 챕터에서는 앞에서 배운 pn junction을 해석하는 방법을 기초로 하여 pn diode에 대해서 해석을 합니다.
우선 pn junction diode 수식을 유도하기에 앞서 이번 포스트에서는
pn junction diode를 해석할 때 수식을 간편하게 하기위한 기본 가정들에 대해 고찰해보겠습니다.
우리가 앞에서 공부했던 것을 토대로 리뷰해보면
pn junction에 reverse bias를 인가했을 때를 보면 p type 의 band 에 -전압이 인가되어 올라가게 되고
인가된 bias $V_{R}$ 만큼 fermi level의 증가가 이루어지고 장벽이 커진 것을 볼 수 있습니다.
이때 전자와 정공이 느끼는 potental 이 높아지게되고 전류가 잘 흐르지 않게됩니다.
forward bias 가 인가된 상황을 보면 p type에 bnad 에 + 전압이 인가되어 내려가게 되고
마찬가지로 기존의 $V_{bi}$에서 $V_{a}$ 만큼 fermi level의 감소가 발생하고
전자와 홀들은 쉽게 반대방향의 side로 이동이 쉬워 캐리어의 이동이 발생함에 따라 전류가 잘 흐르게 됩니다.
이때 저희가 인지하고 가야할 점은
우리가 해석하는 배경은 외부 전압이 전부 다 depletion region에만 걸린다는 가정입니다.
reverse bias 또는 forward bias 떄문에 생기는 에너지 변화는 모두 공핍층 안에서 $V_{bi}$ 를 변화시키는데 사용이 된다는
점을 알고 넘어가겠습니다.
또한 depletion region을 제외한 neutral region, 중성 영역에서 외부에서 전압이 인가되더라도 E field는 0이고
potental 전압도 0이라고 가정한다는 점 또한 숙지하고 가겠습니다.
이 가정들은 pn diode를 해석해 수식을 전개할 때 중요한 가정들이 되겠습니다.
이제부터 pn diode 해석에 있어
이상적인 pn diode 를 해석하기 위해서 몇가지 가정들에 대해 살펴보려합니다.
1. Non degenerately doped
도핑이 매우 높지않은 $10^{15}$~$10^{18}$ 정도의 도핑 농도를 갖는 그러한 반도체를 사용한 pn junction만을 다룬다는 가정입니다.
2. step junction
step junction 을 갖는 pn junction만 해석합니다.
step junction 이란 ?
pn junction을 만드는데 p type과 n type 각각 일정한 도핑 농도만을 갖는 pn junction만을 다룬다는 가정입니다.
도핑 농도가 접합면, 경계면에서부터 끝부분까지 농도가 경사를 갖도록 도핑 된 pn junction도 존재하겠지만
문제를 간단화하기 위해서
각 p, n type 영역에서 농도가 일정한 step junction만을 사용하겠다는 것입니다.
3. depletion approximation
depletion region 의 경계면이 실제론 커브를 이루겠지만 수직으로 뚝 끊어지듯이 경계면을 이룬다는 가정입니다.
중성영역과 공핍층 사이의 경계면은 딱 끊어져 있기때문에
중성영역에서 E field = 0 , potental(V) = 0 이고
외부에서 가해지는 E field나 potential은 depletion region 안에서만 적용된다는 가정입니다.
4. Boltzmann approximation
Boltzmann approximation 은 물리전자공학 시간에 자주 등장했던 가정입니다.
density of state function 과 Fermi dirac function을 곱한 값을 에너지 밴드를 따라 적분을 해서 전자 또는 홀의 농도를
구했습니다.
density of state funciton
density of state function은 보통 전자가 채워질 수 있는 방의 개수에 비유가 되는데
에너지레벨이 높으면 아래 그림과 같이 방의 개수가 증가하게 되겠습니다.
fermi dirac function
fermi dirac function 은 방에 전자를 채울 수 있는 확률에 대한 함수로써
양자적 state를 채울 확률입니다.
에너지 레벨이 높으면 높을 수록 감소를 하는 양상을 띕니다.
따라서 전자 또는 홀의 농도는 전자가 채워질 방의 밀도와 방을 채울 확률을 서로 곱하게되면
실제로 전자가 채워지는 개수가 나오게 됩니다.
$$n_{0} = \int_{Ec}^{}g_{c}(E)f(E)dE$$
위 식을 적분하면 conduction band 의 전자의 농도를 구할 수 있고 정공의 농도 또한 마찬가지로 구하면 되겠습니다.
이때 위 식을 적분할 때 저희가 사용하는 근사가 바로 볼츠만 근사(Boltzmann approximation)이 되겠습니다.
Boltzmann approximation
실제로 Fermi dirac function은 전자와 정공의 농도를 계산할 때 적분하기 까다로운 형태입니다.
따라서
E-$E_{f}$ 가 KT 보다 훨씬 큰 상황이 만족된다면 exp 항이 1보다 커지게되므로 1을 무시할 수 있게되고
함수가 간단하게 근사될 수 있게됩니다.
$$f(E)=\frac{1}{1+e^\frac{E-E_{f}}{KT}}$$
$$\approx e^\frac{-(E-E_{f})}{KT}$$
$$if((E-E_{f} >> KT))$$
이를 Boltzmann approximation 라고 합니다.
위 fermi function의 E 레벨에 대한 확률 그래프를 보시면 에너지 레벨이 높은 구간에서는
볼츠만 근사와 그래프 커브가 거의 유사한 것을 볼 수 있겠고
에너지 레벨이 낮은 구간에서는 오차가 크게 나타나는 것이 보입니다.
이 볼츠만 근사를 처음 에너지 밴드 그래프를 통해 다시 보시면
conduction band 레벨 위쪽 구간을 쭉 적분하는데
이 구간 E level이 Fermi level 과 차이가 많이 나 조건을 만족해 fermi function을 단순화 할 수 있었고
적분하여 n 면적을 구해 농도를 구할 수 있게됩니다.
$$n_{0} = \int_{Ec}^{}g_{c}(E)f(E)dE$$
$$n_{0}=\int_{Ec}^{}g_{c}(E)f(E)dE$$
$$=Nc e^{-\frac{E_{c}-E_{f}}{KT}}$$
하지만
도핑농도가 degenerated 된 상태라면
예를들어 $10^{18}$ 이상으로 도핑된 그러한 반도체를 해석할 경우에는
위 그림보다 도핑이 높아 fermi level이 Ec레벨 만큼 올라온 상황이 되고
에너지 밴드를 따라 적분을 하면 E-Ef 구간이 작게되므로 볼츠만 근사를 적용할 수 없습니다.
다시 가정으로 돌아와서
결국 Boltzmann approximation은 non degenerately doped 된 pn junction에서만 다루게 된다는 의미이므로
처음에 가정했던 1번 non degnerately doped 와 Boltzmann approximation 두 가정이 거의 같은 뜻을 내포하게 됩니다.
5. low level injection
forward bias가 인가된 pn junction에서
n type의 전자가 p type으로 넘어가고 p type의 홀이 n type으로 넘어가게 되는데
넘어가는 전자와 홀을 각 n, p type에서는 주입된다고 표현하게 되겠습니다.
이때 주입된 전자를 excess carrier 처럼 행동을 하게됩니다.
low level injection이라는 것은 excess carrier , 과잉 캐리어가 기존의 majority carrier 보다 훨씬 작아
majority carrier에 큰 영향을 주지 않는다는 것으로
주 캐리어 농도에 큰 영향을 끼치지 않을 만큼만 forward bias를 인가하겠다는 의미입니다.
약간의 캐리어만 흘러가게끔, 크게 흘러가는 상황까지는 해석하지 않겠다는 가정이 되겠습니다.
6. Recombination & Generation (재결합 & 생성)
Recombination 과 Generation 이 depletion region에서는 발생하지 않는다는 가정입니다.
전자와 홀이 공핍층 영역을 건너가게 될 때 둘이 만나 Recombination이 되어 사라지는 경우가 있고
어떤 원리에 의해서 e와 h 쌍이 generation이 될 수 있겠지만 모두 고려하지 않겠다는 가정이 되겠습니다.
이것을 고려해야지 continuity equation(연속 방정식) 수식이 간단해지므로 단순화하기위해서
공핍층 안에서의 재결합과 생성이 없다고 무시하고 수식을 전개합니다.
7. Steady-state condition (정상 상태)
항상 수식을 전개할 때 시간이 많이 흘러 정상상태가 된 경우를 고려합니다.
정상 상태에 들어왔기 때문에 과잉 캐리어가 있음에도 시간에 따른 전자와 홀의 변화가 없다고 가정합니다.
이렇게 다양한 가정에 대해서 알아보았고 이를 통해 쉽게 몇가지 사실들을 알 수 있게됩니다.
Continuity equation을 보시면
$$\frac{\partial p(x,t)}{\partial t}=-\frac{1}{q}\frac{\partial J_{p}}{\partial x} + (g_{p}-r_{p})$$
에서 Recombination 과 Generation 모두 고려하지않기로 했으므로 g와 r 항이 사라지고
steady state 상태이므로 시간에 대한 홀 농도 역시 0으로 사라지게 됩니다.
따라서 다음과 같은 항만 남게됩니다.
$$\frac{\partial J_{p}}{\partial x}=0, \frac{\partial J_{n}}{\partial x}=0$$
이는 depletion region에서 위치에 따른 전자와 홀의 current는 일정하다는 것을 알 수 있게됩니다.
각 $J_{p}$ 와 $J_{n}$ 는 공핍층에서 일정한 값을 갖게되고
전체 전류 J는 $J_{p}$ 와 $J_{n}$ 를 더한 값으로 일정하게 상수값으로 유지됩니다.
$J_{total}$이 일정하면 $J_{p}$ 와 $J_{n}$ 중 한 쪽의 전류만 알게되면 나머지 한쪽은 $J_{total}$ 에서 빼준 값으로
간단하게 구할 수 있는 수식의 간편함을 얻을 수 있습니다.
작성자: 손동휘 / 수정 및 검토: 이현우, 김현수
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