<MOS> 4. Capacitance-Voltage 특성

앞선 챕터 마지막에서 우리는 DC전압인 $V_G$에 대한 $Q_s$를 살펴보았다. 이번 시간에는 특정 DC전압 $V_G$를 인가한 operation mode에 AC small signal을 인가하여 이때 capacitance가 어떻게 변화하는지 살펴보고, 이를 C-V특성으로 표현해볼 것이다.

들어가기에 앞서

이전 챕터를 공부했다면 다들 인가한 $V_G$(DC)에 의해 특정 operation mode의 MOS capacitor가 되고, $V_G$에 의해 생성된 $Q_m$와 $Q_m$에 대응하는 $Q_s$가 존재함을 알 것이다. 이번 챕터에서는 여기에 추가적으로 small signal(AC)을 인가하여 $V_G$를 조금씩 바꿔주고, 이에 따라 $Q_m, Q_s$가 조금씩 바뀌는 것을...그리고 이에 따라 capacitance가 조금씩 바뀌는 것까지 배운다. 이를 아래와 같이 수식으로 표현해보았다.

small signal(AC)의 변화에 따른 charge 변화량

아래는 $Q_s(Q_{acc} + Q_{dep} + Q_{inv})$와 $V_G$의 관계 그래프이다.

$Q_s-V_G$ 그래프

위의 그래프를 통해 $V_G$에 small signal을 조금씩 인가했을 때의 변화에 대해 알 수 있다. 변화량은 위의 그래프의 기울기 값...즉, 위의 그래프를 미분하면 small signal capacitance를 알 수 있고 아래가 그것이다.

$C-V_G$ 그래프

① Accumulation mode's Capacitance

Accumulation mode의 small signal capacitance

위의 그림에서 알 수 있듯이, metal surface와 semiconductor surface의 small signal에 의한 추가적인 charge가 oxide에 분리되어있다. 즉, accumulation mode에서 small signal capacitance는 oxide에 의해 정의됨을 알 수 있다. 여기서 oxide의 capacitance는 oxide의 유전율과 두께로 결정된다. 이를 수식으로 표현하면 아래와 같다.

Accumulation mode의 small signal capacitance 수식

② Depletion mode's Capacitance

Depletion mode의 small signal capacitance

Depletion mode에서는 accumulation mode와는 다르게 metal에서의 추가적인 charge가 semiconductor의 depletion charge와 대응된다. 즉, small signal이 조금씩 인가되면 depletion width인 $x_d$가 증가하며 대응되는 것이다. 위의 그림에서도 확인할 수 있듯이, 추가적으로 생성되는 charge는 oxide와 depletion width에 의해 분리되어있다. 따라서 depletion mode에서의 Capacitance는 oxide와 depeltion width($x_d$)에 의해 결정된다. 그림에서와 같이 $C_{ox}$와 $C_{dep}$가 직렬로 연결된 것과 같다. 이를 수식으로 표현하면 아래와 같다.

Inversion mode's Capacitance

Inversion mode의 capacitance를 계산하기 위해선 minority carrier가 semiconductor의 surface에 위치하여 inversion layer를 형성하기 위해서는 아래의 2가지 요소가 작용한다.

• 첫째, minority carrier(여기서는 전자)가 semiconductor의 bulk에서 depletion region까지 diffusion 이동을 하고, 이후에 depltion region에서 강한 electric-field의 영향을 받아 drift 이동을 한다. 그렇게 이동한 minority carrier가 최종적으로 semiconductor surface에 위치하게 되는 것이다.
• 둘째, 전자 정공쌍의 generation으로 majority carrier는 bulk 쪽으로, minority carrier는 semiconductor surface에 위치하게 된다.

위의 2가지 요소에 대한 이해를 돕기 위해 아래 그림을 참고하자.

위의 2가지 방법으로 minority carrier가 surface로 이동하기 위해서는 어느정도의 시간이 필요하다. 그래서 우리는 inversion mode일 때의 small signal capacitance를 minority carrier가 inversion layer를 생성하기에 충분한 시간이 주어진 "Low frequency"상황과 시간이 충분하지 않은 "High frequency" 상황으로 나누어 알아볼 것이다.

③ Inversion mode's Capacitance with Low Frequency

앞서 설명했듯, low frequency 상황에서는 minority carrier에 의한 inversion charge가 $Q_m$에 대응하기에 충분한 시간이 주어져있다. 즉, $\Delta Q_m = \Delta Q_{inv}$이다. Metal surface의 small signal charge와 semiconductor surface inversion charge가 oxide를 사이에 두고 완벽히 대응된다. 아래의 그림을 참고하자.

Low frequency inversion mode의 small signal capacitance

이를 수식으로 표현하면 아래와 같다.

④ Inversion mode's Capacitance with High Frequency

High frequency 상황에서는 앞선 상황과 달리 inversion charge가 $Q_m$에 대응하기에 충분한 시간이 주어지지 않은 상황이다. 이때의 small signal capacitance는 depletion mode와 다를 것이 없다. $\Delta Q_m = \Delta Q_{dep}$으로 $\Delta Q_{dep}$이 $\Delta Q_m$에 대응된다. 그에 따라 small signal capacitance는 $\Delta Q_{dep}$와 $\Delta Q_{dep}$ 사이에 존재하는 oxide와 depletion region의 영향을 받는다.

High frequency inversion mode의 small signal capacitance

여기서 저번 시간에 배운 $V_G$에 대한 depletion width에 대해 생각해보자. 아래의 그림과 같이 $x_{dT}$가 inversion mode에서는 일정함($x_{dT} = max$ $x_{dT}$)을 기억할 것이다(기억이 나지 않는다면 이전 챕터를 확인하기를 바란다).

$V_G$에 따른 depletion width /&nbsp;(참고: Semiconductor Physics&nbsp;and Devices&nbsp;(Donald A. Neamen))

$C_{dep} = \frac{\epsilon_s}{x_{dT}}$이므로 $x_{dT}$가 최대값이면 $C_{dep}$는 최소값이 된다. 따라서 hight frequency 상황의 inversion mode에서의 small signal capacitance는 항상 $C_{min}$으로 일정하다. 이를 수식으로 표현하면 아래와 같다.

MOS capacitor's C-V 특성(for p-type semiconductor, small signal)

(참고: Sungho Kim youtube)

위의 그래프는 MOS capacitor의 C-V 특성 그래프이다.
이때, doping의 농도가 증가하면 어떤 결과가 나타날지 살펴보자.

$N_A$가 증가할 때

Doping 농도가 증가하면 총 3가지 특징이 변화하는데, 이를 차근차근 살펴보자.

• $\mid V_{FB} \mid$ 증가(accumulation mode, depletion mode)
  $N_A$가 증가하면 semiconductor의 fermi-level이 valance band와 가까워진다. 따라서 $\phi_s$가 증가하는데, $\phi_{ms} = \mid V_{FB}\mid = \phi_m - \phi_s$이므로 $\phi_{ms} = \mid V_{FB}\mid $가 증가하게 된다.
• $V_T$ 증가(depletion mode, inversion mode)
  앞서서 $\phi_s$가 증가한다고 했다. 이에 따라 $\phi_{fp}$가 증가한다. 아래 수식과 같이 $V_T$는 $\phi_{fp}$의 영향을 많이 받기 때문에 $\phi_fp$가 증가함에 따라 $V_T$도 증가한다.

$V_T$ 수식

• $C_{min} $감소(inversion mode)
  $N_A$가 증가할수록 $x_{dT}$는 감소하고, $x_{dT}$는 감소할수록 $C_{dep}$가 증가하고, $C_{dep}$가 증가할수록 $C_{min}$가 증가한다. 이는 아래의 수식만 알면 금방 이해할 수 있을 것이다.

Capacitnace, depletion capacitance, depeltion width

위의 3가지 특징 변화를 고려하여 C-V 특성 그래프를 그리면 다음과 같다.

Sungho Kim youtube

$t_{ox}$가 감소할 때

이번에는 oxide의 두께가 감소했을 때의 변화를 살펴보자.

• $V_{FB}$ 일정
  $V_{FB}$는 oxide의 두께와는 무관하므로 변화가 없다.
• $V_T$ 감소(depletion mode, inversion mode)
  아래의 $V_T$ 수식을 살펴보면 $C_{ox}$가 분모에 있는 것을 확인할 수 있다. $C_{ox} = \frac{\epsilon_ox}{t_{ox}}$이므로 $t_{ox}$가 감소함에 따라 $C_{ox}$가 증가하고, 이에 $V_T$가 감소함을 알 수 있다.

$V_T$ 수식

• $C_{min}$ 증가
  $C_{ox} = \frac{\epsilon_ox}{t_{ox}}$이므로 $t_{ox}$가 감소함에 따라 $C_{ox}$는 증가하고, 그로 인해 $C_{min}$이 증가함을 알 수 있다.

위의 3가지 특징 변화를 고려하여 C-V 특성 그래프를 그리면 다음과 같다.

Sungho Kim youtube

 

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작성자: 이현우 / 수정 및 검토: 손동휘, 김현수