<MOS> 2. Parameter & gate bias

앞으로 배울 MOS 의 수식 전개에 앞서 몇가지 파라미터의 정의와 그 의미에 대해서 살펴보겠습니다.

사진 출처 :Semiconductor Physics and Devices (Donald A. Neamen)

1. surface potential

mos capacitor에서 Si쪽의 에너지 밴드 다이어그램의 휘어짐 정도를 나타내는 파라미터입니다.
기호는 $\phi_{s}$ 로 쓰고
Si의 workfunction과 지칭이 같아서 햇갈릴 수 있지만 에너지밴드 다이어그램의 휘어짐을 나타내는 파라미터로도 사용됩니다.

 

위 에너지밴드 다이어그램은 기준을 intrinsic fermi level과 fermi level의 차이인 $E_{i}$ - $E_{F}$ 로 휘어짐의 정도를 나타냈지만

다른 에너지 레벨을 기준으로 삼아 $\phi_{s}$ 를 표기할 수 있습니다.

 

2.$\phi_{fp}$
Bulk에서 $E_{Fi}$와 $E_{F}$ 의 차이를 나타낸 값입니다.

Surface에서 멀리 떨어진 지점을 Bulk라 표현하는데 이때 Bulk에서의 Fermi level의 차이를 지칭합니다.

Si 반도체가 그림과 같이 p type 으로 가정했을 때 $\phi_{fp}$ 값을 우리가 알고있던 식 p 의 농도로 나타낼 수 있습니다.

위 수식을 전개하면 Fermi level 의 차이가 정의한대로 $\phi_{fp}$ 이므로 치환할 수 있습니다.

이와 같이 $\phi_{fp}$ 값을 구할 수 있습니다.

 

그다음으로 depletion region의 폭도 생각해 볼 수 있는데
$\phi_{s}$의 에너지밴드의 휘어짐은 built in potential, $V_{bi}$와 정의가 같기 때문에
우리가 알고 있던 one side junction이나 ms junction의 depletion region 식을 인용해서

이와같이 depletion region 의 폭도 수식을 $\phi_{s}$로 나타낼 수 있습니다.

 

3.Threshold voltage

Threshold 란 문턱이란 뜻으로 문턱을 넘어가듯이 어떤 현상이 급격히 바뀌는 시점을 뜻합니다.
mos capacitor에서 $\phi_{s}=$2$\phi_{fp}$ 가 되는 시점을 threshold 라 합니다.

 

위 시점을 전자와 홀의 농도를 통해 계산해보면

앞에서 구했듯이 $p_{0}$는 $\phi_{fp}$ 에 exponential하게 비례하는 것을 볼 수 있고
inversion된 반도체의 surface 구간에서의 전자의 농도 $n_{s}$ 또한 $\phi_{s}$ 또한 exponential하게 비례합니다.

 

결국 $\phi_{s}=$2$\phi_{fp}$ 시점은 $n_{s}$ 와 $p_{0}$ 가 같아지는 시점을 만들게됩니다.

$$V_{g} \neq \phi_{s}$$
ms junction에서는 gate의 전압이 반도체의 band bending의 built in potential을 바꾸는데 모두 관여를 했습니다.

 

또한 mos capacitor에서는 ms junction과 다르게

gate에 +전압이 인가됐을 때 gate의 인가된 전압은 oxide와 반도체에 분배되어 영향을 끼쳐 oxide의 band bending과 반도체쪽의 band bending에 둘 다 기여하게됩니다.

예를들어 gate에 $V_{g}$=3v를 인가하면 oxide에 1v 반도체쪽에 2v만큼의 전압이 분배되어 각 물질의 band bending에 기여하게됩니다.

 

depletion region width ( at threshold)
$V_{bi}$=$\phi_{s}$=2$\phi_{fp}$ 이므로 depletion region의 width를 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

mos 구조에서 oxide에 의해 전류는 흐르지 못하고 E field만 전달되는 capacitor 구조와 동일하게 동작하게 되겠습니다.
이때 gate 전압을 인가하면 metal 쪽에 + charge가 쌓이게되고
반도체쪽의 surface 부근에는 그에 상응하는 동일한 양의 - charge가 capacitor 처럼 쌓이게 되겠습니다.

우리가 수식을 통해 알 수 있듯이 $n_{s}$는 $\phi_{fp}$에 비례하게 증가한다는 것을 보입니다.

초기 농도 $N_{a}$ 가 $10^{16}$ 일 때 threshold 지점인 예시 그래프를 보시면

초기 threshold 지점에서 $\phi{fp}$가 0.06만 일어나도 $n_{s}$의 농도는 10배 , 100배씩 $\phi{fp}$의 증가분보다 훨씬 기하급수적으로 변한다는 사실을 알 수 있습니다.

 

추가적인 전압이 인가되어 threshold 지점을 넘어선 gate 전압이 인가되면
증가된 전압만큼 metal쪽에 +$\Delta$Q가 추가적으로 생성되고 -$\Delta$Q charge가 증가된 +Q charge만큼 추가적으로 생기게되는데

수식과 그래프를 볼 수 있듯이
threshold 지점 이후에는 $\phi_{fp}$가 증가한 양에 비해 inversion charged가 쉽고 빠르게 증가합니다.

 

따라서 추가적인 band bending이나 depletion region width의 변화는 크게 증가되지 않게되어

threshold 지점에서 depletion region width, $x_{dt}$는 거의 최대값을 갖게 됩니다.

실제로는 폭의 증가가 일어나지만 그 양이 굉장히 적어 의미있는 변화가 아니여서 보통은 threshold 지점에서 max라고 표현합니다.

 

결국 $\phi_{s}$ 와 depletion region width는 treshold 시점 이후부터는 고정된 값, 최대값을 이루고
이후에 인가되는 전압은 $\phi_{s}$ 와 depletion region width의 변화에 기여하는 것이 아닌 전부 oxide에만 전압이 걸리게 됩니다.

 

 

Gate bias의 분배

왼쪽 ms junction의 그림에서
$V_{bi}$는 두 물질의 workfunction의 차이 $\phi_{ms}$로 결정됩니다.
이를 mos 구조에서 살펴보시면

$\phi_{ms}$ 는 oxide band bending 과 반도체 surface 쪽에서의 band bending 으로 나누어져 영향을 미칩니다.

mos capacitor에 열평형 상태에서 gate전압을 추가적으로 인가했을 때 다음과 같이 oxide와 반도체에 band bending이 일어납니다.

수식을 전개해 보면 알 수 있듯이 외부에서 가해준 전압은 workfunction의 차이를 수평하게 만드는데 쓰이고

그 다음으로 oxide의 band bending , surface potential 의 변화에도 분배되어 사용되는 것을 수식적으로도 살펴볼 수 있습니다.

 

 

$V_{ox}$
oxide의 band bending 이 어떻게 이루어지는지에 대해서 살펴보면

+전압이 gate에 인가되어 metal 쪽에 +Q charge가 생성되고 반대편에는 동일한 양의 -Q charge가 생성되었습니다.

이는 capacitor의 구조와 동일하고 capacitor에 얼마나 전하가 모일지를 결정하는 성분인 capacitance가 결정됩니다.

 

capacitance가 결정되면 capacitator에서 저장되는 전하의 양은
$$Q = C_{ox}V_{ox}$$
을 통해서 구할 수 있게되어

oxide 양단에 걸리는 전압 $V_{ox}$ 는 위와 같이 나타냅니다.

 

 

 

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작성자 : 손동휘 / 수정 및 검토 : 이현우, 김현수