<PN junction> 2. built in potential

이번 포스팅에서 리뷰할 내용은 전압 인가가 0V 일 때 band의 휘어짐과 내부 전압, built in potential 을 정량적인 해석을 통해 알아보겠습니다.

p type 반도체와 n type 반도체를 붙여 pn junction을 형성하게되면 열평형 상태에 도달하게 되면 Fermi level이 수평하게 만들어짐을 알고 있습니다.

결국 p type 반도체와 n type 반도체의 Fermi level을 맞추기 위해 band의 휘어짐이 발생하게되고

Fermi level 의 차이가 pn junction에서 발생하는 휘어짐의 크기가 됩니다.

두 페르미 레벨의 차이는 전자의 농도와 정공의 농도를 통해 구할 수 있습니다.

$n_{0} = N_{c}exp(-\frac{E_{c}-E_{f}}{KT}) = n_{i}exp(\frac{E_{f}-E_{i}}{KT})$
$p_{0} = N_{v}exp(-\frac{E_{f}-E_{v}}{KT}) = n_{i}exp(\frac{E_{i}-E_{f}}{KT})$

위 두 식을 통해 페르미 레벨의 차이를 구하면 다음과 같습니다.

각 side의 Fermi level 의 단위는 [ v ]

이때 p side의 p 농도는 우리가 도핑한 억셉터의 농도와 같으므로 $p = N_{A}$ 로 바꾸어 줄 수 있고

마찬가지로 n side의 n 농도 역시 도핑한 도너의 농도와 같으므로 $n = N_{D}$ 로 바꾸어 줄 수 있습니다.

밴드의 휘어짐이 발생한 pn junction ( non-degenerately doped )

위 두 수식을 합한 값이 내부 전압 (built in potental , $V_{bi}$ ) 이므로

합하여 전개하면 다음과 같이 구할 수 있습니다.

이때 우리가 유의해야 할 점은 위 수식들은 non degenerately doped 상태라는 점입니다.

 

소금물이 정해진 물의 양에 녹을 수 있는 양이 정해져있는 것 처럼

반도체의 도핑 또한 반도체에 도핑 될 수 있는 양이 정해져있습니다.

 

우리가 Si 반도체에 도핑을 할 수 있는 최대 농도는 대략 $10^{20}$ 입니다.

도핑 농도에 따른 상태를 대략적으로

$10^{15}$ ~ $10^{18}$ : non degenerated low doping

$10^{18}$ 이상 : degenerated high doping ( 축퇴 반도체 )

실리콘에 도핑한 양에 따른 상태를 이와같이 정의합니다.

 

$n_{0}$ 혹은 $p_{0}$ 값을 정의 할 때 저희는 항상 물리전자공학 시간에 배운

" Boltzman approximation " 을 통해 수식을 전개했습니다.

물리전자공학시간에 다뤘던 볼츠만 근사 ( Boltzman approximation ) 에 대해서 간략하게 리뷰해보자면

사진 출처 :&nbsp;Semiconductor Physics and Devices (Donald A. Neamen)

기존의 Fermi Dirac function 수식은 다음과 같고
$f(E) = \frac{1}{1+exp(\frac{E-E_{f}}{KT})}$

$E-E_{f}$ >> KT 라는 조건에서

페르미 디랙 함수는 다음과 같이 근사가 됐습니다.
$$f(E) \approx \frac{1}{exp(\frac{E-E_{f}}{KT})} \approx \frac{1}{exp(-\frac{E-E_{f}}{KT})}$$

 

볼츠만 근사는 E가 클 때 ($E-E_{f}$의 값이 KT보다 충분히 큰), 도핑이 높지 않은 non degenerated 상태에서만 사용이 가능했습니다.

만약 highly doped 된 반도체에서 전자의 농도 혹은 정공의 농도를 통해 내부 전압을 구하게 된다면

 

전자, 정공의 농도를 구할 때 실제로 근사가 아닌 density of state 와 Fermi dirac function 을 곱해 적분한 식을 통해 구해야하므로 수식이 달라지게 됩니다.

위에서 증명했던 내부 전압 $V_{bi}$ 는 non degenerately doped 상태에서만 유효하다는 것을 알 수 있습니다.

 

 

정리해보자면

우리는 위 built in potental, 내부 전압을 구하기 위해서 식을 유도해보았고

위 수식을 통해 doping 농도에 따라 내부 전압이 변한다는 사실을 알 수 있었습니다.

도핑 농도가 올라가면 페르미 레벨의 차이가 올라가므로 band의 휘어짐이 커지고

결국 내부 전압의 크기도 커짐을 다시 수식적으로 확인 할 수 있었습니다.

 

 

 

추가적으로 저희가 생각해볼 것은

pn junction에서 한 쪽 면의 도핑이 degenerately doping 된다면 내부 전압은 어떻게 달라질지에 대해서 고찰해보도록 하겠습니다.

단위 : [ v ]

내부 전압은 위에서 유도해보았듯이 p side와 n side의 Fermi level 차이를 합한 것과 같습니다.

한 쪽면의 도핑이 큰 접합을 one side junction이라 하는데

이때 degnerately doped 인 면쪽에 +를 붙여 표기합니다.

$p^+n$ junction을 예로 살펴보자면

위 에너지 밴드갭을 보시면

p side 의 Fermi level은 고농도의 도핑이 되었기때문에 valence level 에 인접하게 형성됩니다.

 

우리는 앞서 말했다싶이 degenerately doped 상태에서는 Botlzman approximation을 사용할 수 없기에

$P_{0} = Nv exp(-\frac{E_{f}-E_{v}}{KT})$ 수식을 사용할 수 없습니다.

 

따라서 고농도의 도핑을 하면 Fermi level이 p type에서는 valence level에 인접하다는 것을 이용해서
$E_{i}-E_{f} \approx \frac{E_{g}}{2}$
라고 가정을 하고 수식을 전개하게 되겠습니다.

 

나머지 n side 부분은 고농도의 도핑이 아닌 평범한 도핑 농도이므로

기존에 배웠던 수식을 사용하여 수식을 전개할 수 있습니다.

내부 전압 식을 one side junction에서 다시 정의한다면
$qV_{bi} = \frac{E_{g}}{2} + KT ln\frac{N_{D}}{n_{i}}$

로 전개할 수 있습니다.

 

이 외에도 $pn^+$ junction 또한

$p^+n$ junction과 똑같이 수식을 전개하여

p side의 fermi level은 기존의 수식을 이용하고 n side의 fermi level은 에너지 밴드갭의 절반과 유사하다고 가정하고

수식을 마찬가지로 전개하면 되겠습니다.

$qV_{bi} = KT ln\frac{N_{A}}{n_{i}} + \frac{E_{g}}{2}$

 

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작성자: 손동휘 / 수정 및 검토: 이현우, 김현수