<PN junction> 3. 열평형상태의 PN junction(3)

반도체 소자를 해석하기 위해서는 해당 소자의 Energy band를 그릴 수 있어야한다. 최종적인 Energy band를 그리기 위해 charge density, electric filed, Electrostatic potential energy distribution을 구해야한다. 이번 시간에는 이러한 과정에 대해 알아보도록 하겠다.

Energy band를 계산하는 과정

모든 반도체 소자는 아래와 같은 일정한 순서를 통해 해석할 수 있다.

① Charge density

: Charge density ρ = p - n + $qN_D$ - $qN_A$ 인데, 이때 Depletion region에서 p, n은 모두 0이고 $qN_D$와 $qN_A$는 각각 Donor와 Acceptor의 fixed charge라고 생각하면 된다. 따라서, p-side depletion region의 charge density ρ는 -$qN_A$, n-side depletion region의 ρ는 $qN_D$이다.

pn junction charge density

아마 대부분 위의 그림에서 무 자르듯이 그려진 파란색 직선을 많이 봤을 것이다. 하지만, 실제 charge density는 depletion region 경계면에서 무 자르듯이 잘린 파란색 직선이 아닌, 검은색 곡선과 같다. 좀 더 확실히 하기 위해서는 검은색 곡선으로 표현하는 것이 맞으나, 그렇게 표현한다면 이후에 계산하게 될 electric field와 potential energy를 계산할 때 복잡해진다. 이를 방지하기 위해 depletion region 경계면에서 charge density가 계단형 함수와 같다고 가정하게 된다. 즉, $x = -x_p, x = x_n$에서 $electric field = 0$이라는 가정을 하는데, 이와 같은 가정을 Depletion approximation이라고 한다.

② Electric field

: 앞선 "1. 열평형상태에서의 PN junction(1)"에서 배운 아래의 Possion equation을 기억할 것이다(기억이 잘 나지 않는다면 앞선 글을 참고하길 바란다).

Possion equation

여기서 $ε_s$는 $ε_s = ε_rε_0$이다. 참고로 $ε_r$은 si의 유전율, $ε_0$은 진공 상태에서의 유전율이다.
아무튼 위에서 구한 charge density를 possion equation을 이용하여 적분하면 p-side, n-side에서 각각 electirc field에 대한 수식을 얻을 수 있다. possion equation은 결국 $\frac{ρ}{ε_s}$를 적분한 것이기 때문에 적분 상수가 발생하게 된다. 이때 depletion approximation에 의해 $E(-x_p) = 0, E(x_n) = 0$라는 초기 조건을 알고 있으므로 이를 대입하여 적분 상수를 계산하면 다음과 같은 Electric field를 얻는다.

Electric field 수식

Electirc field 표현

위의 그래프에서 알 수 있듯이, Electric field는 연속이어야하므로 $E(x = 0)$에서 p-side, n-side의 $E(0)$이 같음을 알 수 있다. 이 조건을 위의 p-side, n-side $E(x)$에 대입하면 $N_Ax_p = N_Dx_n$이다.
$N_Ax_p = N_Dx_n$ 식을 통해, 도핑농도와 depletion region의 너비는 서로 반비례한다는 사실과 charge density 그래프에서 아래와 같이 두 영역의 넓이가 같음을 알 수 있다.

$N_Ax_p = N_Dx_n$

$N_Ax_p = N_Dx_n$는 언제나, 항상 만족하기 때문에, $n^+p junction$과 $p^+n junction$과 같은 one-side junction에서도 마찬가지이다. 다시말해, one-side junction에서 도핑농도가 매우 높은 side의 depletion area의 너비는 굉장히 좁아, 결국 n-side, p-side에서의 넓이는 항상 같다는 것이다.

③ Electrostatic potential distribution

② 단계에서 구한 Electric field를 이용하여 potential energy(V)를 구해보자. Electric field와 V는 $\vec{E} = -\triangledownV$의 관계이므로, ② 단계에서 구한 Electric field를 적분하고 (-)를 곱해주면 potential energy에 대한 식을 아래와 같이 얻을 수 있다. 이때도 Electric field를 구할 때와 마찬가지로 적분 상수가 발생한다. 그렇기에 초기 조건이 필요한데 전위차 V(potential energy)란 임의의 기준점 기준의 차이이므로 기준점을 임의로 정할 수 있다. 그렇기에 p-side에서 $x = -x_p에서 V(-x_p) = 0$이라고 가정하고, 이를 초기 조건으로 적용하면 적분 상수(아래 그림의 $D_1$)은 0이 됨을 알 수 있다.

p-side potential energy

n-side potential energy

위의 그림에서 중요한 것은 n-side의 적분 상수이다. 위의 그림에서 이미 보았듯이 적분 상수 $D_2$(= $V(x_n)$)는 $V_bi$로 표현되어 있는데, 이 $V_bi$값이 중요한 의미를 갖는다. $V_bi$란, built-in potential로 앞선 챕터에서 다룬 것과 같이 PN junction energy band의 휘어짐 정도이다. 결국 이 결과를 통해 energy band diagram을 그릴 수 있게 되는 것이다.

추가적으로 $x = 0일 때, V(x = 0) = \frac{V_{bi}}{2}$인지에 대한 질문이 있었는데, 정답은 $N_A = N_D$일 때만 그렇다이다. 즉, p-type, n-type에 대한 도핑농도가 동일할 때만, $V(x = 0) = \frac{V_{bi}}{2}$이다. 이에 대한 자세한 증명은 하지않겠지만, 이에 대해 댓글을 남기면 자세히 증명하도록 하겠(습니)다.

Electrostatic potential(V) distribution

④ Energy Band diagram

: 마지막으로 ③ 단계에서 구한 Elecrostatic potential distribution을 통해 energy band diagram을 구할 수 있는데, ③ 단계의 n-side, p-side electrostatic potential(V)는 모두 연속이어야하므로 n-side의 $V(x = 0)$과 p-side의 $V(x = 0)$은 같아야함을 알 수 있다. 이를 정리하면 아래의 수식을 얻게 된다.

V(x = 0)일 때

이때, ② 단계에서 알게된 $N_Ax_p = N_Dx_n$와 위의 수식을 연립하면 아래와 같이 $x_n$과 $x_p$, Width를 구할 수 있게 된다. 이 과정도 마찬가지로 단순한 계산이기에 생략하지만, 댓글 남기면 증명하도록 하겠(습니)다.

Depletion Width 구하는 과정

위에서 구한 W(Width)를 통해 도핑 농도($N_A$, $N_D$)가 높을수록 depletion region의 폭도 감소함을 알 수 있다. 이를 통해, $p^+n$인 One-side junction이라면 $\frac{1}{N_A}$ $\approx 0$이므로 $W \approx x_n$, $x_p \cong 0$임을 알 수 있다. 마찬가지로 $n^+p$ junction에서도 비슷한 결과가 도출된다.

 

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작성자: 이현우 / 수정 및 검토: 손동휘, 김현수